Question

设直线3x+4y-5=0与圆C1：x2+y2=4交于A，B两点，若圆C2的圆心在线段AB上，且圆C2与圆C1相切，切点在

Answer 1

解题思路：先根据圆C₁的方程找出圆心坐标与半径R的值，找出圆C₂的半径的最大时的情况：当圆c₂的圆心Q为线段AB的中点时，圆c₂与圆C₁相切，切点在圆C₁的劣弧

AB

上，设切点为P，此时圆C₂的半径r的最大．求r的方法是，联立直线与圆的方程，消去y后得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理求出Q的横坐标，把Q的横坐标代入直线方程即可求出Q的纵坐标，得到Q的坐标，利用两点间的距离公式求出两圆心的距离OQ等于d，然后根据两圆内切时，两圆心之间的距离等于两半径相减可得圆C₂的半径最大值．

由圆C₁：x²+y²=4，可得圆心O（0，0），半径R=2

如图，当圆c₂的圆心Q为线段AB的中点时，圆c₂与圆C₁相切，切点在圆C₁的劣弧

AB上，设切点为P，此时圆C₂的半径r的最大．

联立直线与圆的方程得

3x+4y−5＝0

x2+y2＝4，消去y得到25x²-30x-39=0，

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=[6/5]，所以线段AB的中点Q的横坐标为[3/5]，把x=[3/5]代入直线方程中解得y=[4/5]，

所以Q（[3/5]，[4/5]），则两圆心之间的距离OQ=d=

(

3

5)2+(

4

5)2=1，

因为两圆内切，所以圆c₂的最大半径r=R-d=2-1=1

故答案为：1

点评：

本题考点： 圆与圆的位置关系及其判定．

考点点评： 此题考查学生掌握两圆内切时两半径所满足的条件，灵活运用韦达定理及两点间的距离公式化简求值，是一道中档题．