若函数f(x)=|x+1|+|2x+a|的最小值为3,则实数a的值为______.

1个回答

  • 解题思路:本题可分类讨论,将原函数转化为分段函数,现通过其最小值,求出参数a的值.

    (1)当-

    a

    2>-1,即a<2时,

    f(x)=

    -3x-1-a,(x≤-1)

    -x+1-a,(-1

    a

    2)

    3x+1+a,(x≥-

    a

    2),

    ∴f(x)在区间(-∞,-

    a

    2)上单调递减,在区间[-[a/2],+∞)上单调递增,

    当x=-

    a

    2时取最小值.

    ∵函数f(x)=|x+1|+|2x+a|的最小值为3,

    ∴f(-

    a

    2)=3.

    ∴a=-4.

    (2)当-

    a

    22时,

    f(x)=

    -3x-1-a,(x≤-

    a

    2)

    x-1+a,(-

    a

    2

    3x+1+a,(x≥-1),

    ∴f(x)在区间(-∞,-

    a

    2)上单调递减,在区间[-[a/2],+∞)上单调递增,

    当x=-

    a

    2时取最小值.

    ∵函数f(x)=|x+1|+|2x+a|的最小值为3,

    ∴f(-

    a

    2)=3.

    ∴a=8.

    (3)当-

    a

    2=-1,即a=2时,

    f(x)=3|x+1|≥0,与题意不符.

    综上,a=-4或a=8.

    故答案为:a=-4或a=8.

    点评:

    本题考点: 绝对值三角不等式.

    考点点评: 本题考查了函数最值求法,考查了分段函数的解析式的求法,还考查了分类讨论的数学思想,本题有一定的思维量,属于中档题.