解题思路:(Ⅰ)欲证PA∥平面BFD,根据直线与平面平行的判定定理可知只需证PA与平面BFD内一直线平行,连接AC,BD与AC交于点O,连接OF,根据中位线可知OF∥PA,OF⊂平面BFD,PA⊄平面BFD,满足定理所需条件;
(Ⅱ)根据条件可知PA⊥AC,AC⊥BD.OF∩BD=O,满足线面垂直的判定定理,则AC⊥平面BDF,作OH⊥BF,垂足为H,连接CH,则CH⊥BF,
所以∠OHC为二面角PD⊥的平面角.在Rt△FOB中,求出OH,从而求出∠OHC的正切值,最后根据二面角C-BF-D的平面角与二面角P-BF-D的平面角互补求出所求即可.
证明:(Ⅰ)连接AC,BD与AC交于点O,连接OF.
∵ABCD是菱形,∴O是AC的中点.
∵点F为PC的中点,∴OF∥PA.
∵OF⊂平面BFD,PA⊄平面BFD,∴PA∥平面BFD.
(Ⅱ) ∵PA⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,∴PA⊥AC.
∵OF∥PA,∴OF⊥AC.∵ABCD是菱形,∴AC⊥BD.∵OF∩BD=O,
∴AC⊥平面BDF.
作OH⊥BF,垂足为H,连接CH,则CH⊥BF,
所以∠OHC为二面角PD⊥的平面角.ABCDPA=AD=AC,
∴OF=
1
2PA,BO=
3
2PA,BF=
BO2+OF2=PA.
在Rt△FOB中,OH=
OF⋅BO
BF=
3
4PA,
∴tan∠OHC=
OC
OH=
1
2PA
3
4PA=
2
3
3.
∴二面角C-BF-D的大小为arctan
2
3
3
∵二面角C-BF-D的平面角与二面角P-BF-D的平面角互补
∴二面角P-BF-D的大小为π-arctan
2
3
3
点评:
本题考点: 直线与平面平行的判定;与二面角有关的立体几何综合题.
考点点评: 求二面角,关键是构造出二面角的平面角,常用的方法有利用三垂线定理和通过求法向量的夹角,然后再将其转化为二面角的平面角,属于综合题.