（1）连结AD，
∵△ABC是等腰直角三角形，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，AD=BD=DC，∠DAQ=∠B，
又∵BP=AQ，
∴△BPD≌△AQD，
∴PD=QD，∠ADQ=∠BDP，
∵∠BDP+∠ADP=90°，
∴∠ADQ+∠ADP=∠PDQ=90°，
∴△PDQ为等腰直角三角形；
（2）当P点运动到AB的中点时，四边形APDQ是正方形，
由（1）知△ABD为等腰直角三角形，
当P为AB的中点时，DP⊥AB，即∠APD=90°，
又∵∠A=90°，∠PDQ=90°，
∴四边形APDQ为矩形，
又∵DP=AP=
AB，
∴四边形APDQ为正方形。