Question

在[1/n]和n+1之间插入n个正数，使这n+2个数依次成等比数列，求所插入的n个数之积．

Answer 1

解题思路：先令a₀=[1/n] a_n+1=n+1，进而设插入的n个数分别为a₁，a₂…a_n，进而根据等比中项的性质可推断出a₀×a_n+1=a₁×a_n=a₂×a_n-1=…=a_n×a₁=a_n+1×a₀，进而把n组数相乘，整理可求得答案．

令a₀=[1/n] a_n+1=n+1

插入的n个数分别为a₁，a₂…a_n
根据等比中项的性质可知a₀×a_n+1=a₁×a_n=a₂×a_n-1=…=a_n×a₁=a_n+1×a₀=[n+1/n]

n组数相乘（a₁×a₂×…×a_n）²=（[n+1/n]）ⁿ
∴a₁×a₂×…×a_n=

(

n+1

n) n；

故所插入的n个数之积为：

(

n+1

n) n

点评：

本题考点： 等比数列的性质．

考点点评： 本题主要考查了等比数列的性质--等比中项．考查了对等比中项性质的灵活运用，考查了学生综合分析问题和推理的能力．