Question

已知焦点在x轴上的双曲线上一点P,到双曲线两个焦点的距离分别是4和8,直线y=x-2被双曲线截得的弦长为20√2,求此双

Answer 1

焦点在x轴上的双曲线上一点P,到双曲线两个焦点的距离分别为4和8,则实轴长2a=8-4=4,a=2.设双曲线方程为x²/4 - y²/b²=1,与y=x-2联立消去y得：

（4-b²)x²-16x+16+4b²=0,由韦达定理可知:

x1+x2=16/(4-b²),x1x2=（16+4b²)/(4-b²)

根据弦长公式,20√2=√(1+1²)√[(x1+x2)²-4x1x2]

即(x1+x2)²-4x1x2=400,代入x1+x2=16/(4-b²),x1x2=(16+4b²)/(4-b²)化简得：

2(b²)²-25b²+50=0,解得b²=10或b²=5/2,

双曲线方程为x²/4 - y²/10=1 或x²/4 - 2y²/5=1