Question

数列{an}的前n项和记为Sn，a1=1，an+1=2Sn+1（n≥1）

Answer 1

解题思路：（1）由题意可得：a_n=2S_n-1+1（n≥2），所以a_n+1-a_n=2a_n，即a_n+1=3a_n（n≥2），又因为a₂=3a₁，故{a_n}是等比数列，进而得到答案．

（2）根据题意可得b₂=5，故可设b₁=5-d，b₃=5+d，所以结合题意可得（5-d+1）（5+d+9）=（5+3）²，进而求出公差得到等差数列的前n项和为T_n．

（1）因为a_n+1=2S_n+1，…①

所以a_n=2S_n-1+1（n≥2），…②

所以①②两式相减得a_n+1-a_n=2a_n，即a_n+1=3a_n（n≥2）

又因为a₂=2S₁+1=3，

所以a₂=3a₁，

故{a_n}是首项为1，公比为3的等比数列

∴a_n=3^n-1．

（2）设{b_n}的公差为d，由T₃=15得，可得b₁+b₂+b₃=15，可得b₂=5，

故可设b₁=5-d，b₃=5+d，

又因为a₁=1，a₂=3，a₃=9，并且a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃成等比数列，

所以可得（5-d+1）（5+d+9）=（5+3）²，

解得d₁=2，d₂=-10

∵等差数列{b_n}的各项为正，

∴d＞0，

∴d=2，

∴Tn＝3n+

n(n−1)

2×2＝n2+2n

点评：

本题考点： 等比数列的通项公式；等差数列的前n项和．

考点点评： 本题主要考查求数列通项公式的方法，以及等比数列与等差数列的有关性质与求和．