Question

（2011•北京）曲线C是平面内与两个定点F1（-1，0）和F2（1，0）的距离的积等于常数a2（a＞1）的点的轨迹．给

Answer 1

解题思路：由题意曲线C是平面内与两个定点F₁（-1，0）和F₂（1，0）的距离的积等于常数a²（a＞1），利用直接法，设动点坐标为（x，y），及可得到动点的轨迹方程，然后由方程特点即可加以判断．

对于①，由题意设动点坐标为（x，y），则利用题意及两点间的距离公式的得：

(x+1)2+y2•

(x-1)2+y2=a2⇔[（x+1）²+y²]•[（x-1）²+y²]=a⁴（1）将原点代入验证，此方程不过原点，所以①错；

对于②，把方程中的x被-x代换，y被-y 代换，方程不变，故此曲线关于原点对称．②正确；

对于③，由题意知点P在曲线C上，则△F₁PF₂的面积S△PF1F2=

1

2×2×y，

由（1）式平方化简的：y⁴+[（x+1）²+（x-1）²]y²+（x²-1）²-a⁴=0⇒y2=-x2-1+

4x2+a4或y2=-x2-1-

4x2+a4（舍）

把三角形的面积式子平方得：S△PF1F22 =y2 对于y2=-x2-1+

4x2+a4（2）

令

4x2+a4=t(t≥a2＞1)⇒x2=

t2-

点评：

本题考点： 轨迹方程．

考点点评： 此题重点考查了利用直接法求出动点的轨迹方程，并化简，利用方程判断曲线的对称性及利用解析式选择换元法求出值域．