x²+y²+1≤2x+2y
(x²-2x+1)+(y²-2y+1)≤1
(x-1)²+(y-1)²≤1
由于(x-1)²≥0、(y-1)²≥0,且x、y都是整数,所以有两种情形：
①(x-1)²和(y-1)²两个都为0,即：
(x-1)²=0
(y-1)²=0
解之得：
x=1
y=1
则：x+y=2；
②(x-1)²和(y-1)²中一个为0,一个为1,不妨令(x-1)²=0,则(y-1)²=1,
解之得：
x=1
y-1=±1,得：y=2和0,
则x+y=3和1.
综上,x+y的值有3个,分别为：1、2、3.