1.双曲线x^2/3-y^2=1的离心率是2√3/3,所以椭圆的离心率为√3/2
（1）当（0,1）是椭圆的短轴的端点时,b=1,c=(√3/2)a,又a^2=b^2+c^2
得a^2=4,所以椭圆方程为x^2/4 +y^2=1
(2)当（0,1）是椭圆的长轴的端点时,a=1,c=(√3/2)a,又a^2=b^2+c^2
得b^2=1/4,所以椭圆方程为4x^2 +y^2=1
所以所求的椭圆方程为x^2/4 +y^2=1或者4x^2 +y^2=1
如果a>b,那么所求的椭圆方程为x^2/4 +y^2=1
2.设直线l的方程为：y=kx+1 B(m,n),M(x,y)
将y=kx+1 代入x^2/4 +y^2=1中消去y得到（1+4k^2)x^2+8kx=0
所以m= - 8k/(1+4k^2),n=(1-4k^2)/(1+4k^2)
向量OM=1/2向量OA+（√3/2)向量OB 即x=1/2*0+（√3/2)*m=（√3/2)m,
y=1/2*1+（√3/2)n=1/2+（√3/2)n,而M(x,y)点在椭圆x^2/4 +y^2=1上,
代入解得 ：k= 4次根号[(2+√3)/16√3];或k= -4次根号[(2+√3)/16√3]