Question

如图以△ABC为边,在BC的同侧分别作3个等边三角形,即△ABD△BCE△ACF.请回答问题并说明理由.

Answer 1

问题①：四边形ADEF是平行四边形

理由：∵△ABD和△EAC都是等边三角形

∴∠ABD=∠EBC=60° BD=AB BE=BC

∴∠ABD-∠EBA =∠EBC-∠EBA 即∠DBE =∠ABC

∴△DBE≌△ABC

∴DE=AC

∵△ACF是等边三角形,AC=AF

∴DE=AF

同理：EF=AD

∴四边形ADEF是平行四边形

问题②：当△ABC满足∠BAC=150°时,四边形ADEF是矩形.

理由：∠BAC=150°,∠BAD=∠CAF=60°得∠DAF=360°-60°-60°-150°=90°

由①四边形ADEF是平行四边形

所以四边形ADEF是矩形

问题③：当△ABC满足AB=AC且∠BAC≠60°时,四边形ADEF是菱形

理由：由AB=AD,AC=AF,AB=AC得AD=AF

由①四边形ADEF是平行四边形

所以四边形ADEF是菱形.(之所以∠BAC≠60°是因为当∠BAC=60°时,∠DAF=360°-60°-60°-60°=180°.即D、A、F三点共线,四边形ADEF不存在)

问题④：当△ABC满足∠BAC=150°,AB=AC时,四边形ADEF是正方形

理由：由问题②知当△ABC满足∠BAC=150°时,四边形ADEF是矩形；由AB=AC,所以四边形ADEF是正方形