直线交椭圆x^2/4+y^2/3=1交于A,B两点,如果满足OA⊥OB,证明:直线AB一定与一定圆相切,并求该定圆方程

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  • 椭圆x²/4+y²/3=1

    当直线斜率不存在时,

    ∵OA⊥OB

    ∴∠AOX=45º

    设点A(x1,y1)则|x1|=|y1|=2√(12/7)

    ∴直线AB与圆x²+y²=12/7相切

    当直线斜率存在时,设直线y=kx+b

    y=kx+b与x²/4+y²/3=1联立,消去y

    得:3x²+4(kx+b)²-12=0

    即:(3+4k²)x²+8kbx+4b²-12=0

    Δ=64k²b²+16(4k²+3)(b²-3)>0

    设A(x1,y1),B(x2,y2)

    则x1+x2=-8kb/(4k²+3)

    x1x2=(4b²-12)/(4k²+3)

    ∵OA⊥OB

    ∴x1x2+y1y2=0

    即x1x2+(kx1+b)(kx2+b)

    =(1+k²)x1x2+bk(x1+x2)+b²=0

    ∴(1+k²)(4b²-12)/(4k²+3)-8b²k²/(4k²+3)+b²=0

    ∴(4b²-12+4k²b²-12k²)-8k²b²+4k²b²+3b²=0

    ∴7b²-12-12k²=0

    ∴b²/(1+k²)=12/7

    原点和直线y=kx+b的距离

    d=|b|/√(k²1)=√(12/7)

    直线AB与圆x²+y²=12/7相切

    ∴直线AB一定与一定圆相切