Question

过抛物线 C： x 2 =2py(p＞0) 的焦点F作直线l与抛物线C交于A、B两点，当点A的纵坐标为1时，

Answer 1

（1）∵|AF|=2，∴由抛物线的定义，可得1+

p

2 =2，∴p=2

∴抛物线C的方程为x ²=4y；

（2）抛物线C的焦点为F（0，1），设直线l的方程为y=kx+1，A（ x 1 ，

x 21

4 ），B（ x 2 ，

x 22

4 ），M（ x 0 ，

x 20

4 ）

直线方程代入抛物线方程可得x ²-4kx-4=0

∴x ₁+x ₂=4k，x ₁x ₂=-4

∵MA⊥MB，∴

MA •

MB =0

∴（x ₁-x ₀）（x ₂-x ₀）+ (

x 21

4 -

x 20

4 ) (

x 22

4 -

x 20

4 ) =0

∵M不与A，B重合，∴（x ₁-x ₀）（x ₂-x ₀）≠0

∴1+

1

16 （x ₁+x ₀）（x ₂+x ₀）=0

∴x ₁x ₂+（x ₁+x ₂）x ₀+

x 20 -16 =0

∴

x 20 +4k x 0 +12=0

∴△=16k ²-48≥0

∴k≤ -

3 或k≥

3 ．