Question

（2009•福建）过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，

Answer 1

解题思路：抛物线的方程可求得焦点坐标，进而根据斜率表示出直线的方程，与抛物线的方程联立消去y，进而根据韦达定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，进而利用配方法求得|x₁-x₂|，利用弦长公式表示出段AB的长求得p．

由题意可知过焦点的直线方程为y＝x−

p

2，

联立有

y2＝2px

y＝x−

p

2⇒x2−3px+

p2

4＝0，

∴x₁+x₂=3p，x₁x₂=

p2

4

∴|x₁-x₂|=

(x1+x2)2−4x1x2=

(3p)2−4×

p2

4

又|AB|＝

(1+12)

(3p)2−4×

p2

点评：

本题考点： 抛物线的简单性质．

考点点评： 本题主要考查了抛物线的简单性质．涉及直线与抛物线的关系时，往往是利用韦达定理设而不求．