Question

已知数列{an}是首项a1＞1，公比q＞0的等比数列．设bn=log2an（n∈N*），且b1+b3+b5=6，b1b3

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）依题意，利用等比数列的通项公式与对数的运算性质，判断分析后可得q=[1/2]，a₁=16，于是可求得数列{a_n}的通项公式；

（Ⅱ）由b_n=log₂a_n=

log

2

2

5−n

=5-n，易知，{b_n}是首项为4，公差为-1的等差数列，从而可求得S_n=

9n

−n

2

2

，

S

n

n

=[9−n/2]，继而可知{

S

n

n

}是首项为4，公差为-[1/2]的等差数列，从而可求得

S

1

1

+

S

2

2

+…+

S

n

n

的最大值．

（Ⅰ）b₁+b₃+b₅=log₂（a₁a₃a₅）=log2(a13q6)=6⇒a13q⁶=2⁶⇒a₁q²=4，

∵a₁＞1，∴b₁=log₂a₁≠0，

又b₁b₃b₅=0，若b₃=0，则log₂a₃=log2(a1q2)=0，即a₁q²=0，这与a₁q²=4矛盾，

故b₅=log2(a1q4)=0⇒a₁q⁴=1．

∴q²=[1/4]，q=[1/2]，a₁=16．

∴a_n=16•(

1

2)n−1=2^5-n．

（Ⅱ）∵b_n=log₂a_n=log225−n=5-n，∴{b_n}是首项为4，公差为-1的等差数列，

∴S_n=

9n−n2

2，

Sn

n=[9−n/2]．

故{

Sn

n}是首项为4，公差为-[1/2]的等差数列．∵n≤8时，

Sn

n＞0；

n=9时，

Sn

n=0； n＞9时，

Sn

n＜0．故当n=8或n=9时，

S1

1+

S2

2+…+

Sn

n最大．

点评：

本题考点： 数列的求和；等差数列的性质．

考点点评： 本题考查数列的求和，着重考查等差关系的确定，求得an=25-n是关键，考查运算求解能力，属于中档题．