Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线 与x轴的交点为点A，与y轴的交点为点B，过点B作x轴的平行线BC，交抛物线于点C

Answer 1

（1）

，

令y=0，得x ²-8x-180=0，

（x-18）（x+10）=0，

∴x=18或x=-10，

∴A（18，0），

在

中，令x=0，得y=-10，

即B（0，-10），

由于BC∥OA，故点C的纵坐标为-10，

由

得x=8或x=0，

即C（8，-10），

且易求出顶点坐标为

，

于是A（18，0），B（0，-10），C（8，-10），

顶点坐标为

；

（2）若四边形PQCA为平行四边形，由于QC∥PA，故只要QC=PA即可，

而PA=18-4t，CQ=t，

故18-4t=t，得

；

（3）设点P运动t秒，则OP=4t，CQ=t，

，

说明P在线段OA上，且不与点O、A重合，

由于QC∥OP，知△QDC∽△PDO，

故

同理QC∥AF，

故

，

即

∴AF=4t=OP，

∴PF=PA+AF=PA+OP=18，

又点Q到直线PF的距离d=|OB|=|-10|=10，

∴

故当

时，S _△PQF总为定值90；

（4）由前面知道，P（4t，0），F（18+4t，0），Q（8-t，-10），

，

构造直角三角形后易得：

PQ ²= （4t-8 +t） ²+10 ²= （5t -8） ²+100，

FQ ²=（18+4t-8+t） ²+10 ²=（5t+10） ²+100，

①若FP= FQ，即18 ²=（5t +10） ²+100，

故25（t+2） ²=224，（t+2） ²=

，

∵

∴

∴

②若QP=QF，即（5t-8） ²+100=（5t+10） ²+100，

即（5t-8） ²=（5t+10） ²，

无0≤t≤

的t满足方程，

③若PQ=PF，即（5t-8） ²+100=18 ²

∴（5t-8） ²=224，

由于

，又

，

∴

，

故无

的t满足此方程，

综上所述：

时，△PQF为等腰三角形。