Question

已知一个直角三角形三个内角的正弦值成等比数列，则其中最小内角的正弦值是 ___ ．

Answer 1

解题思路：设A、B为锐角，且A＜B，C为直角，则sinC=1，sinB=cosA，由直角三角形三个内角的正弦值成等比数列，知sinA=sin²B=cos²A=1-sin²A，设sinA=m，得m²+m-1=0，由此能求出最小内角的正弦值．

不妨设A、B为锐角，且A＜B，C为直角，

则sinC=sin90°=1，sinB=cosA，

∵直角三角形三个内角的正弦值成等比数列，

∴[sinA/sinB＝

sinB

sinC]，

∴sinA=sin²B=cos²A=1-sin²A，

设sinA=m，

则m=1-m²，

m²+m-1=0，

∴m=

5−1

2，或m=

−

5−1

2（舍）．

所以最小内角的正弦值是

5−1

2．

故答案为：

5−1

2．

点评：

本题考点： 数列与函数的综合．

考点点评： 本题考查三角函数与数列的综合运用，求直角三角形中最小角的正弦值．解题时要认真审题，注意等比数列的性质和应用，注意三角函数恒等式的灵活运用．