圆和直线的关系,是以BC为直径的圆O上的一点,AD垂直BC与点D,过B作圆O的切线,与CA的延长线相交于点E,G是AD的

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  • 证明:

    (1) 在RtΔCGD和RtΔCFB中,GD=AD/2,BF⊥BC,AD⊥BC

    ∴ RtΔCGD∽RtΔCFB

    (AD/2):BF=CD:BC,即BC:BF=2CD:AD.1)

    过D作DH//FA交BF于H,则AD=FH

    则 RtΔGHF∽RtΔCBF

    BC:BF=BD:FH=BD:AD.2)

    比较1)、2) 可得:BD=2CD

    又 RtΔCBE∽RtΔCDA

    则 AD:BE=CD:BC=CD:(BD+CD)=1:3

    即 AD=BE/3

    由2)知道,AD:BF=BD:BC=2CD:3CD=2:3,即AD=2BF/3

    所以,BE=2BF,即EF=BF

    (2)在平行四边形ADHF中,DH=FA

    BH=BF-AD,FA^2=BD^2+BH^2=BD^2+(3AD/2-AD)^2=BD^2+AD^2/4

    ∵ 在RtΔABC中,AD^2=BD*CD=BD^2/2,即,BD^2=2AD^2

    ∴ FA^2=2AD^2+AD^2/4=9AD^2/4

    FA=3AD/2=BF

    ∵ AF=BF,AO=BO,FO=FO

    ∴ ΔOBF≌ΔOAF

    ∴ ∠OBF=∠OAF=90°,OA⊥AF

    即,PA是圆O的切线

    (3)

    若FG=BF,且半径长BO=AO=3√2

    则 AD^2+BD^2=FG^2=9AD^2/4

    BD=√5AD/2

    又 AO^2-(BD-AO)^2=AD^2

    (2AO-BD)BD=AD^2

    √5AO-5AD/4=AD

    AD=(4√5*3√2)/9=4√10/3

    所以,BD=(√5/2)AD=2√50/3=10√2/3

    FG=3AD/2=2√10