（ I）∵函数f（x）=ax，g（x）=lnx，其中a∈R．
∴F（x）=ax-lnx，则 F′（x）=a-[1/x]，
∵函数F（x）=f（x）-g（x）有极值1，
∴F′（1）=0，
∴a-1=0，解得a=1；
（ II）∵函数G（x）=f[sin（1-x）]+g（x）=asin（1-x）+lnx，
∴G′（x）=acos（1-x）×（-1）+[1/x]，
只要G′（x）＞0在区间（0，1）上大于0，
∴G′（x）=acos（1-x）×（-1）+[1/x]＞0，
∴a＜[1
xcos(1?x)，求
1
xcos(1?x)的最小值即可，
求h（x）=xcos（1-x）的最小值即可，0＜1-x＜1，
∵h′（x）=cos（1-x）+xsin（1-x）＞0，
∴h（x）在（0，1）增函数，
h（x）＜h（1）=1，
∴
1
xcos(1?x)的最小值为1，
∴a≤1；
（Ⅲ）∵0＜
1
(k+1)2＜1，
∵sinx＜x在x∈（0，1）上恒成立，
∴
n/
k＝1sin
1
(k+1)2]=sin[1
22+sin
1
23+…+sin
1
(n+1)2≤
1
22+
1
23+…+
1
(n+1)2
＜
1/4]+[1/9]+[1/16]+[1/4×5]+[1/5×6]+…+[1
n(n+1)=
97/144]-[1/n+1]＜[97/144]＜ln2，
∴
n
k＝1sin
1
(k+1)2＜ln2；