Question

过△ABC所在平面a外一点P,做PQ垂直于a,垂足为O,连接PA PB PC

Answer 1

1、PQ⊥平面ABC,且PA=PB=PC,则它们射影相等,即OA=OB=OC,O是三角形的外心,又三角形是直角三角形,故其外心在斜边的中点.

2、由上一问已说明,故是外心.

3、连结CO,并延长与AB相交于D,连结AO并延长与BC相交于E,

PC⊥PA,PC⊥PB,PA∩PB=P,

PC⊥平面PAB,

AB∈平面PAB,

PC⊥AB,

根据三垂线逆定理,

AB⊥CD,

同理BC⊥AE,

故O是两条边是高的交点,故是三角形的垂心.