解题思路：（1）对函数求导数可得
f′(x)＝
k+1
x
2
，由已知得，f′（x）≥0对x∈（0，+∞）恒成立，可得结果．
（2）本题的思路较为清晰，那就是构造函数，令
g(x)＝lnx+
3
x
−2
，利用导数
g′(x)＝
x−3
x
2
转化为函数的最值问题易得结论．
（3）在（2）的基础上来解答本题很容易解决，由（2）得
lnx＞2−
3
x
，于是求出通项an=ln[n（n+1）]的关系，然后利用数列求和的裂项相消法可得结论．
（1）∵f（x）=k−
k+1
x，∴f′(x)＝
k+1
x2
∵f（x）是（0，+∞）上的增函数，∴f′(x)＝
k+1
x2≥0对x∈（0，+∞）恒成立．
∴k+1≥0，得k≥-1
而k=-1时f′（x）=0，f（x）=-1为常函数，不满足条件，
∴k＞-1
（2）证明：当k=2时，∵f(x)＝2−
3
x
∴不等式f（x）＜lnx对任意x＞0恒成立，等价于lnx+
3
x−2＞0对任意x＞0恒成立．
令g(x)＝lnx+
3
x−2，则g′(x)＝
x−3
x2
∴g（x）在（0，3）上递减，在（3，+∞）上递增，
∴g（x）≥g（3）=ln3-1＞0，即lnx+
3
x−2＞0对任意x＞0恒成立．
∴不等式f（x）＜lnx对任意x＞0恒成立．
（3）证明：由（2）知，lnx+
3
x−2＞0对任意x＞0恒成立，即lnx＞2−
3
x．
∵n∈N*，
∴ln[n（n+1）]＞2−
3
n(n+1)=2−3(
1
n−
1
n+1)，
∴ln（1×2）+ln（2×3）+…+ln[n（n+1）]＞2n-3(1−
1
2+
1
2−
1
3+…+
1
n−
1
n+1)=2n-3(1−
1
n+1)＞2n-3
点评：
本题考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用；函数的单调性与导数的关系；数列的应用．
考点点评： 本题考查导数在解决问题中的应用，解题的关键求出函数的导数f′（x）≥0恒成立来解答参数k的值，本题第二小题是一个恒成立的问题，恒成立的问题一般转化最值问题来求解，本题即转化为用单调性求函数在闭区间上的最值的问题．在（3）中的构造法解决问题时要对由函数到数列的特殊化要求，思路要认真严谨，避免过度太大，导致解题粗枝大叶的现象发生．