e going to go shopping.这很正确,不过一般用be going to do some shopping更加合适.
你说的情况可能是在将来时态中,be going doing sth.与be going to go doing sth.意思一样,前者用来更加简洁,也更顺口,而且语法都正确.但你说的go一定要省略好像没听说过.
你说的be going to cycle和be going to go cycling这个不仅意思相同,而且短语完全用的是同一个,即：be going to,只不过前一个是动词cycle,而后者用的是动词短语：go cycling.两者完全相同.
以上本人的理解,不一定正确.