Question

（2012•武清区一模）已知数列{an}满足对任意的n∈N*，an+1＝2an+2n+2成立，解决下列问题．

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）直接把n=3，2，1代入

a

n+1

＝2

a

n

+

2

n+2

，再借助于a₃是2a₁、a₄的等比中项，即可求出a₁的值；

（Ⅱ）先假设存在一个实数λ符合题意，得到 必为与n无关的常数，整理 即可求出实数λ，进而求出数列{a_n}的通项公式．

（Ⅲ）通过（Ⅱ），求出数列的通项公式，求出数列的前n项和，利用放缩法扩大数列的和，通过无穷数列的求和，证明结果．

（Ⅰ）由an+1＝2an+2n+2，a₃是2a₁、a₄的等比中项，a₃²=2a₁•a₄，

a2＝2a1+23，a3＝2a2+24所以a3＝4a1+25同理可得a4＝8a1+3×25，

所以( 4a1+25)2＝2a1( 8a1+3×25)，解得a₁=-16．

（Ⅱ）由an+1＝2an+2n+2，可知

an+1

2n+1＝

an

2n+2，所以

an+1

2n+1−

an

2n＝2，

所以数列{

an

2n}是以

a1

21为首项以2为公差的等差数列．

（Ⅲ）若a₁=2，数列{

an

2n}的首项为1，公差为2，所以

an

2n＝1+(n−1)×2，

所以an＝(2n−1)2n，

前n项和为S_n=1×2+3×2²+5×2³+…+（2n-1）×2ⁿ，①

则2S_n=1×2²+3×2³+…+（2n-3）×2ⁿ+（2n-1）×2ⁿ⁺¹，②

①-②得：-S_n=2+2（2²+…+2ⁿ）-（2n-1）×2ⁿ⁺¹=2+

8(1−2n−1)

1−2-（2n-1）×2ⁿ⁺¹．

点评：

本题考点： 数学归纳法；等差关系的确定；数列的求和；等比数列的性质；数列与不等式的综合．

考点点评： 本题主要考查数列递推关系式的应用以及等差关系的确定．数列求和的方法，错位相减法以及放缩法的应用，考查分析问题解决问题的能力．