Question

已知k为不超过50的正整数，使得对任意正整数n，2×3 6n +k×2 3n+1 -1都能被7整除，则这样的正整数k有_

Answer 1

2×3 ⁶ⁿ+k×2 ³ⁿ⁺¹-1=2×27 ²ⁿ+2k×8 ⁿ-1=2×（28-1） ²ⁿ+2k×（7+1） ²ⁿ

=2×（-1） ²ⁿ+2k-1=2k+1（mod7），

但2×3 ⁶ⁿ+k×2 ³ⁿ⁺¹-1=0（mod7），

2k+1=0（mod7），即2k+1=7m（m为奇数），

因为1≤k≤50，所以3≤7m≤101，

故m=1、3、…13，相应的k=3、10、…、45共7个．

故答案为7．