已知,如图①所示,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,且点B、A、D在一条直线上,连接B

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  • 解题思路:(1)因为∠BAC=∠DAE,所以∠BAE=∠CAD,又因为AB=AC,AD=AE,利用SAS可证出△ABE≌△ACD,进而可得BE=CD;

    (2)由(1)中△ABE≌△ACD,可得对应边、对应角相等,进而得出△ABM≌△ACN,即可得出结论;

    (3)先由(2)中△ABM≌△ACN,可得∠BAM=∠CAN,所以∠MAN=∠BAC,又因为AM:AB=AN:AC,利用两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似,证出△AMN∽△ABC;同理证出△ABC∽△ADE,即可得出△AMN∽△ABC∽△ADE.

    证明:(1)∵∠BAC=∠DAE,

    ∴∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠CAE,

    即∠BAE=∠CAD.

    在△ABE与△ACD中,

    AB=AC

    ∠BAE=∠CAD

    AE=AD,

    ∴△ABE≌△ACD,

    ∴BE=CD;

    (2)由(1)得△ABE≌△ACD,

    ∴∠ABE=∠ACD,BE=CD.

    ∵M,N分别是BE,CD的中点,

    ∴BM=CN.

    在△ABM与△ACN中,

    AB=AC

    ∠ABM=∠ACN

    BM=CN,

    ∴△ABM≌△ACN,

    ∴AM=AN,

    ∴△AMN为等腰三角形;

    (3)由(2)得△ABM≌△ACN,

    ∴∠BAM=∠CAN,

    ∴∠BAM+∠BAN=∠CAN+∠BAN,

    即∠MAN=∠BAC,

    又∵AM=AN,AB=AC,

    ∴AM:AB=AN:AC,

    ∴△AMN∽△ABC;

    ∵AB=AC,AD=AE,

    ∴AB:AD=AC:AE,

    又∵∠BAC=∠DAE,

    ∴△ABC∽△ADE;

    ∴△AMN∽△ABC∽△ADE.

    点评:

    本题考点: 相似三角形的判定;全等三角形的判定与性质;等腰三角形的判定.

    考点点评: 本题主要考查了全等三角形的判定与性质,等腰三角形的判定,旋转的性质,相似三角形的判定,综合性较强,难度中等.熟练掌握全等三角形及相似三角形的判定方法是解题的关键.