若n为自然数,n+3与n+7都是质数,求n除以3所得的余数.

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  • 解题思路:因为求n除以3所得的余数,所以设n=3k(k是一个非负整数),然后将其代入n+3和n+7,并由n+3与n+7都是质数对其进行论证.

    ∵n除以3所得的余数只可能为0、1、2三种.

    ①若余数为0,即n=3k(k是一个非负整数,下同),则n+3=3k+3=3(k+1),所以3|n+3,又3≠n+3,故n+3不是质数,与题设矛盾.

    ②若余数为2,且n=3k+2,则n+7=3k+2+7=3(k+3),故3|n+7,n+7不是质数;与题设矛盾.

    所以n除以3所得的余数只能为1.

    点评:

    本题考点: 带余除法;质数与合数.

    考点点评: 本题考查了关于质数与合数及带余数除法的题目.一个整数除以m后,余数可能为0,1,…,m-1,共m个,将整数按除以m所得的余数分类,可以分成m类.如m=2时,余数只能为0与1,因此可以分为两类,一类是除以2余数为0的整数,即偶数;另一类是除以2余数为1的整数,即奇数.同样,m=3时,就可将整数分为三类,即除以3余数分别为0、1、2这样的三类.通过余数是否相同来分类是一种重要的思想方法,有着广泛的应用.