（1）证明：连接OP，与AB交与点C
∵PA=PB，OA=OB，OP=OP，
∴△OAP≌△OBP（SSS），
∴∠OBP=∠OAP，
∵PA是⊙O的切线，A是切点，
∴∠OAP=90°，
∴∠OBP=90°，即PB是⊙O的切线；
（2）∵∠Q=∠Q，∠OAQ=∠QBP=90°，
∴△QAO∽△QBP，
∴
，即AQ·PQ=OQ·BQ；
（3）在Rt△OAQ中，∵OQ=15，cosα=
，
∴OA=12，AQ=9，
∴QB=27；
∵
，
∴PQ=45，即PA=36，
∴OP=
；
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴OP⊥AB，AC=BC，
∴PA·OA=OP·AC，即36×12=
·AC，
∴AC=
，故AB=
。