手动开平方、开立方 设A = X^3,求X.称为开立方. 开立方有一个标准的公式： X(n+1)=Xn+(A/X^2-Xn)1/3 (n,n+1是下角标） 例如,A=5,即求 5介于1的3次方;至2的3次方;之间（1的3次方=1,2的3次方=8） 初始值X0可以取1.1,1.2,1.3,1.4,1.5,1.6,1.7,1.8,1.9,都可以.例如我们取X0 = 1.9按照公式： 第一步：X1=1.9+（5/1.9^2;-1.9)1/3=1.7. 即5/1.9×1.9=1.3850416,1.3850416-1.9=-0.5149584,-0.5149584×1/3=-0.1716528,1.9+(-0.1716528)=1.7.即取2位数值,即1.7. 第二步：X2=1.7+（5/1.7^2;-1.7)1/3=1.71. 即5/1.7×1.7=1.73010,1.73-1.7=0.03,0.03×1/3=0.01,1.7+0.01=1.71.取3位数,比前面多取一位数. 第三步：X3=1.71+（5/1.71^2;-1.71)1/3=1.709. 第四步：X4=1.709+（5/1.709^2;-1.709)1/3=1.7099 这种方法可以自动调节,第一步与第三步取值偏大,但是计算出来以后输出值会自动转小；第二步,第四步输入值 偏小,输出值自动转大.即5=1.7099^3; 当然初始值X0也可以取1.1,1.2,1.3,.1.8,1.9中的任何一个,都是X1 = 1.7 > .当然,我们在实际中初始值最好采用中间值,即1.5. 1.5+（5/1.5^2;-1.5）1/3=1.7. 如果用这个公式开平方,只需将3改成2,2改成1.即： X(n + 1) = Xn + (A / Xn − Xn)1 / 2. 例如,A=5： 5介于2的平方至3的平方;之间.我们取初始值2.1,2.2,2.3,2.4,2.5,2.6,2.7,2.8,2.9都可以,我们最好取 中间值2.5. 第一步：2.5+（5/2.5-2.5)1/2=2.2； 即5/2.5=2,2-2.5=-0.5,-0.5×1/2=-0.25,2.5+(-0.25)=2.25,取2位数2.2. 第二步：2.2+(5/2.2-2.2)1/2=2.23； 即5/2.2=2.272,2.272-2.2=-0.072,-0.072×1/2=-0.036,2.2+0.036=2.23.取3位数. 第三步：2.23+(5/2.23-2.23)1/2=2.236. 即5/2.23=2.242,2.242-2.23=0.012,0.012×1/2=0.006,2.23+0.006=2.236. 每一步多取一位数.这个方法又叫反馈开方,即使你输入一个错误的数值,也没有关系,输出值会自动调节,接近准确值.当输入值与输出值一样,那麼就是精确值.例如： A=94249：94249介入300平方---400平方之间.初始值可以取310,320,330,340,350,360,370,380,390.我们取中间值350为初始值. 350+（94249/350-350)1/2=310. 310+(94249/310-310)1/2=307 307+(94249/307-307)1/2=307. 即94249=307^2 手动开平方 1．将被开方数的整数部分从个位起向左每隔两位划为一段,用撇号分开,分成几段,表示所求平方根是几位数；小数部分从最高位向后两位一段隔开,段数以需要的精度+1为准. 2．根据左边第一段里的数,求得平方根的最高位上的数.（在右边例题中,比5小的平方数是4,所以平方根的最高位为2.） 3．从第一段的数减去最高位上数的平方,在它们的差的右边写上第二段数组成第一个余数. 4．把第二步求得的最高位的数乘以20去试除第一个余数,所得的最大整数作为试商.（右例中的试商即为[152/(2×20)]＝[3.8]＝3.） 5．用第二步求得的的最高位数的20倍加上这个试商再乘以试商.如果所得的积小于或等于余数,试商就是平方根的第二位数；如果所得的积大于余数,就把试商减小再试,得到的第一个小于余数的试商作为平方根的第二个数.（即3为平方根的第二位.） 6．用同样的方法,继续求平方根的其他各位上的数.用上一个余数减去上法中所求的积（即152－129＝23）,与第三段数组成新的余数（即2325）.这时再求试商,要用前面所得到的平方根的前两位数（即23）乘以20去试除新的余数（2325）,所得的最大整数为新的试商.（2325/(23×20)的整数部分为5.） 7．对新试商的检验如前法.（右例中最后的余数为0,刚好开尽,则235为所求的平方根.） 如遇开不尽的情况,可根据所要求的精确度求出它的近似值.在《九章算术》里就已经介绍了上述笔算开平方法. 【参照http://iask.sina.com.cn/中“手动开方的方法”,有改动和补充.】 以《九章算术》中求55225的开方为例,图解说明. | 5’ 52’ 25 (1) 2 | 5’ 52’ 25 (2) | 4 |1’ 52 (3) 152/(2×20)＝3＋... | 1’ 52’ (4) (2×20＋3)×3＝129 | 1’ 52’ (5) 1 29 | 23’ 25 (6) 2325/(23×20)＝5＋... | 23’ 25 (7) (23×20＋5)×5＝2325 | 23’ 25 (8) | 23’ 25 (9) 0 (10) 于是,235即为所求. 《九章算术》少广章： 第十二题：今有积五万五千二百二十五步.问为方几何? 答曰：二百三十五步. 开方术曰： 置积为实.借一算.步之.超一等.议所得.以一乘所借一算为法.而以除.除已.倍法为定法.其复除.折法而下.复置借算步之如初.以复议一乘之.所得副.以加定法.以除.以所得副从定法.复除折下如前. 若开之不尽者为不可开,当以面命之.若实有分者,通分内子为定实.乃开之,讫,开其母报除.若母不可开者,又以母乘定实,乃开之,讫,令如母而一. 手动开立方 1．将被开立方数的整数部分从个位起向左每三位分为一组； 2．根据最左边一组,求得立方根的最高位数； 3．用第一组数减去立方根最高位数的立方,在其右边写上第二组数； 4．用求得的最高位数的平方的300倍试除上述余数,得出试商； 5．把求得的最高位数的平方的300倍与试商的积、求得的最高位数的30倍与试商的平方的积和试商的立方写在竖式左边,观察其和是否大于余数,若大于,就减小试商再试,若不大于,试商就是立方根的第二位数； 6．用同样的方法,继续求立方根的其他各位上的数.对新试商的检验亦如前法. 此开立方方法主要参考： http://www.***.com/UploadFiles/%B1%CA%CB%E3%BF%AA%C1%A2%B7%BD.doc 未知作者名号.在另外一个网页中有署名“陈梓瀚”者,不知是否同一作者.本文中有改动. 以《九章算术》中求1860867立方根为例,图解说明. | 1’ 860’ 867 (1) 1 | 1’ 860’ 867 (2) | 1 | 860 (3) 860/(12×300)＝2＋... | 860 (4) 1[2]×300×2＝600 | 1×30×2[2]＝120 | 2[3]＝8 | 860 (5) 600＋120＋8＝728 | 132’ 867 (6) 132867/(12[2]×300)＝3＋... | 132’ 867 (7) 12[2]×300×3＝12600 | 12×30×3[2]＝3240 | 3[3]＝27 | 132’ 867 (8) 12600＋3240＋27＝132’ 867 | 0 (9) 0 (10) 于是,123即为所求.