Question

已知椭圆和双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，它们有相同的焦点F1（-5，0）、F2（5，0），且它们的离心率e都可以使

Answer 1

解题思路：设出椭圆方程及双曲线的方程，利用二次方程有两个相等的实根，令其判别式为0，求出两个根，据焦点坐标求出椭圆和双曲线方程．

由题意可设椭圆的方程为

x2

a21+

y2

b21＝1(a1＞b1＞0)

双曲线的方程为

x2

a22−

y2

b22＝1(a2＞0，b2＞0)

且c₁=c₂=5

设椭圆的离心率为 e₁，0＜e₁＜1，

双曲线的离心率为e₂，e₂＞1

又e₁，e₂使得方程x²+（1-2e）x+2e-1=0有相等的实根，

所以△=（1-2e）²-4×（2e-1）=0

解得e＝

1

2，或e＝

5

2，

即e1＝

1

2，e2＝

5

2，

所以可得a1＝10，b1＝3

5a2＝2，b2＝

21

所以所求椭圆方程为

x2

100+

y2

75＝1，

双曲线的方程为

x2

4−

y2

21＝1

点评：

本题考点： 圆锥曲线的共同特征．

考点点评： 解决椭圆与双曲线问题要注意椭圆的离心率的范围为（0，1）；双曲线离心率的范围为（1，+∝）．