Question

数学归纳法的一道证明在平面上画n条直线,且任何两条直线都相交,其中任何三条直线不共点问这些直线将平面分成多少个部分?猜想

Answer 1

这里的例2

解 记n条直线把平面分成Rn个部分,我们通过n=1,2,3,4,5,画出图形观察rn的情况可知：R1=2=1+1,R2=4=r1+2=1+1+2,R3=7=r2+3=1+1+2+3,R4=11=r3+4=1+1+2+3+4,R5=16=r4+5=1+1+2+3+4+5.由此猜想 rn=1+1+2+3+4+…+n.

接下来用数学归纳法证明这个猜想.

(1) 当n=1,2时,结论均成立 .

(2) 假设当n=k时,结论成立,即 Rk=1+1+2+3+4+…+k,

当n=k+1时,第k+1条直线与前面的k条直线都相交,有k个交点,这k个交点将这条直线分成k+1段,且每一段将原有的平 面部分分成两个部分,

所以 Rk+1=rk+(k+1)=1+1+2+3+4+…+k+(k+1),结论也成立.

根据（1）和（2）,可知对n∈N＊,均有 Rn=1+1+2+3+4+…+n,即 Rn=1+ n(n+1)/2.