Question

已知函数f(x)=x 2 +bx+c(b，c∈R)，对任意的x∈R，恒有f′(x)≤f(x)，

Answer 1

(Ⅰ)易知f′(x)=2x+b，由题设，对任意的x∈R，2x+b≤x ²+bx+c，

即x ²+(b-2)x+c-b≥0恒成立，

所以(b-2) ²-4(c-b)≤0，从而

，

于是c≥1，且

=|b|，

因此2c-b=c+(c-b)＞0，

故当x≥0时，有(x+c) ²-f(x)=(2c-b)x+c(c-1)≥0，

即当x≥0时，f(x)≤(x+c) ²。

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，c≥|b|，

当c＞|b|时，有

，

令

则

，

而函数g(t) =2-

的值域是

；

因此，当c＞|b|时，M的取值集合为

；

当c=|b|时，由(Ⅰ)知，b=±2，c=2，此时f(c)-f(b)=-8或0，

c ²-b ²=0，从而f(c)-f(b)≤

(c ²-b ²)恒成立；

综上所述，M的最小值为

。