(1)如图①,△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,点D为BC边上一点(与点B、C不重合),连接AD,以AD为一边且

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  • 解题思路:(1)可通过证明三角形ABD和三角形ACF全等来实现.因为AD=AF,AB=AC,只要证明∠BAD=∠CAF即可,∠BAD=90°-∠DAC=∠FAC,这样就构成了全等三角形判定中的SAS,△ABD≌△ACF,因此BC=CF,∠B=∠ACF,因为∠B+∠ACB=90°,那么∠ACF+ACD=90°,即FC⊥BC,也就是FC⊥BD.(2)当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立.由正方形ADEF的性质可推出△DAB≌△FAC,所以CF=BD,∠ACF=∠ABD.结合∠BAC=90°,AB=AC,得到∠BCF=∠ACB+∠ACF=90度.即CF⊥BD.

    (1)CF与BD的数量关系是:CF=BD;

    位置关系是:CF⊥BD;

    故答案为:相等、垂直.

    (2)当点D在BC的延长线上时(1)中的结论仍成立.(5分)

    理由如下:

    由正方形ADEF得AD=AF,∠DAF=90°.

    ∵∠BAC=90°,

    ∴∠DAF=∠BAC,

    ∴∠DAB=∠FAC,

    又∵AB=AC,

    ∴△DAB≌△FAC,(4分)

    ∴CF=BD,∠ACF=∠ABD.(6分)

    ∵∠BAC=90°,AB=AC,

    ∴∠ABC=45°,

    ∴∠ACF=45°,

    ∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°.即CF⊥BD.

    点评:

    本题考点: 正方形的性质;全等三角形的判定与性质;等腰直角三角形.

    考点点评: 本题中综合考查了正方形的性质,全等三角形的判定等知识,关键是证明三角形全等,判定两个三角形全等,先根据已知条件或求证的结论确定三角形,然后再根据三角形全等的判定方法,看缺什么条件,再去证什么条件.