Question

（2007•闸北区一模）已知函数f（x）=ax+b，当x∈[a1，b1]时f（x）的值域为[a2，b2]，当x∈[a2，

Answer 1

解题思路：（1）a=1时，f（x）=x+b在R上是增函数，由题意知，a_n=f（a_n-1）=a_n-1+b，b_n=f（b_n-1）=b_n-1+b，从而可判断{a_n}、{b_n}都是公差为b的等差数列．根据等差、等比数列的通项公式及a₁=0，b₁=1可得两数列的通项公式；

（2）易知f（x）=ax+b在R上也是增函数，由已知有b_n=f（b_n-1）=ab_n-1+b（n≥2），可变形为：

b

n

b

n−1

＝a+

b

b

n−1

，若有{b_n}是公比不为1的等比数列，则

b

b

n−1

是常数，由此可得b值；

（3）易知f（x）=ax+b在R上是减函数，由已知可得，b_n=f（a_n-1）=a•a_n-1+b，a_n=f（b_n-1）=a•b_n-1+b，则b_n-a_n=-a（b_n-1-a_n-1）（n≥2），易知，{b_n-a_n}是以1为首项，-a为公比的等比数列，

可得b_n-a_n，从而可求T_n-S_n，则可求得，（T₁+T₂+…+T₂₀₀₀）-（S₁+S₂+…+S₂₀₀₀）=（T₁-S₁）+（T₂-S₂）+…+（T₂₀₀₀-S₂₀₀₀）的值；

（1）a=1时，f（x）=x+b在R上是增函数，

由已知，当n≥2时，x∈[a_n-1，b_n-1]，f（x）的值域是[a_n，b_n]，

∴a_n=f（a_n-1）=a_n-1+b，b_n=f（b_n-1）=b_n-1+b，

∴{a_n}、{b_n}都是公差为b的等差数列．

∵a₁=0，b₁=1，

∴a_n=（n-1）b，b_n=（n-1）b+1；

（2）∵a＞0，a≠1，

∴f（x）=ax+b在R上也是增函数，

由已知有b_n=f（b_n-1）=ab_n-1+b，即b_n=ab_n-1+b（n≥2），

∴

bn

bn−1＝a+

b

bn−1，

若{b_n}是公比不为1的等比数列，则[b

bn−1是常数，所以b=0；

（3）∵a＜0，∴f（x）=ax+b在R上是减函数，

由已知可得，b_n=f（a_n-1）=a•a_n-1+b，a_n=f（b_n-1）=a•b_n-1+b，

∴b_n-a_n=-a（b_n-1-a_n-1）（n≥2），

∴{b_n-a_n}是以1为首项，-a为公比的等比数列，

∴b_n-a_n=（-a）^n-1，

∴T_n-S_n=（b₁-a₁）+（b₂-a₂）+…+（b_n-a_n）=

n，a＝−1

1−(−a)n/1+a，a≠−1]，

于是，（T₁+T₂+…+T₂₀₀₀）-（S₁+S₂+…+S₂₀₀₀）

=（T₁-S₁）+（T₂-S₂）+…+（T₂₀₀₀-S₂₀₀₀）

=

2001000，a＝−1

2000+2001a−a2001

(1+a)2，a＜0，a≠−1．

点评：

本题考点： 数列的求和；等差数列与等比数列的综合．

考点点评： 本题考查等差等比数列的通项公式、数列求和等知识，考查学生综合运用知识分析解决问题的能力，难度较大．