Question

（2014•宝鸡二模）已知函数f（x）=ex-x

Answer 1

解题思路：（1）由f′（x）=e^x-1，得f′（0）=0，又f（0）=1，故切线方程为：y-1=f′（0）（x-0），即y-1=0．

（2）当F′（x）=e^x-2ax-1在[0，2]上是增函数时，有F″（x）=e^x-2a≥0在[0，2]上恒成立，即a≤

e

x

2

在[0，2]上恒成立，得a≤[1/2]．当F′（x）=e^x-2ax-1在[0，2]上是减函数时，得a≥

e

x

2

．综上，a∈[

e

2

2

，+∞）∪（-∞，[1/2]]．

（3）结论：f（m）+f（n）≥mn+2．当a=[1/2]时，由（2）可得F″（x）=e^x-2a≥0在[0，+∞）上恒成立，F（x）在[0，+∞）上是增函数，得到：f（x）≥[1/2]x²+1．从而f（m）+f（n）≥

m

2

+n

2

2

+2≥mn+2．

（1）由f′（x）=e^x-1，得f′（0）=0，又f（0）=1，

故切线方程为：y-1=f′（0）（x-0），即y-1=0．

（2）当F′（x）=e^x-2ax-1在[0，2]上是增函数时，

有F″（x）=e^x-2a≥0在[0，2]上恒成立，即a≤

ex

2在[0，2]上恒成立，

∴a≤[1/2]．

当F′（x）=e^x-2ax-1在[0，2]上是减函数时，

有F″（x）=e^x-2a≤0在[0，2]上恒成立，即a≥

ex

2在[0，2]上恒成立，

∴a≥

ex

2．

综上，a∈[

e2

2，+∞）∪（-∞，[1/2]]．

（3）结论：f（m）+f（n）≥mn+2．

当a=[1/2]时，由（2）可得F″（x）=e^x-2a≥0在[0，+∞）上恒成立，

∴F′（x）在[0，+∞）上是增函数，

∴F′（x）≥F′（0）=0，

∴F（x）在[0，+∞）上是增函数，又F（0）=0，

∴F（x）≥0，得到：f（x）≥[1/2]x²+1．

又m≥0，n≥0，故f（m）≥[1/2]m²+1，f（n）≥[1/2]n²+1，

∴f（m）+f（n）≥

m2+n2

2+2≥mn+2，（当且仅当m=n=0时等号成立）．

点评：

本题考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评： 本题考察了函数的单调性，切线的方程，参数的范围，考察导数的应用，是一道综合题．