（2012•贵溪市模拟）已知数列{an}满足：an - 知识问答

（2012•贵溪市模拟）已知数列{an}满足：an=logn+1（n+2）（n∈N+），定义使a1•a2•a3…ak为整

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解题思路：先利用换底公式与叠乘法把a₁•a₂•a₃…a_k化为log₂（k+2）；然后根据a₁•a₂•a₃…a_k为整数，可得k=2ⁿ-2；最后由等比数列前n项和公式解决问题．
a_n=log_n+1（n+2）=
log2(n+2)
log2(n+1)（n∈N⁺），
∴a₁•a₂•a₃…a_k=
log23
log22•
log24
log23•
log25
log24…
log2(k+2)
log2(k+1)=log₂（k+2）
又∵a₁•a₂•a₃…a_k为整数
∴k+2必须是2的n次幂（n∈N⁺），即k=2ⁿ-2．
∴k∈[1，2011]内所有的幸运数的和
M=（2²-2）+（2³-2）+（2⁴-2）+…+（2¹⁰-2）
=
4(1−29)
1−2-2×9=2026 （2¹¹-2＞2011）
故答案为2026．
点评：
本题考点：对数的运算性质．
考点点评：本题在理解新定义的基础上，考查换底公式、叠乘法及等比数列前n项和公式，其综合性、技巧性是比较强的．

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