已知F为抛物线C1:x2=2py(p>0)的焦点,若过焦点F的直线l交C1于A,B两点,使抛物线C1在点A,B处的两条切

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  • 解题思路:(Ⅰ)通过求导即可得到切线的斜率,联立切线的方程即可求得交点M的坐标,联立直线l的方程与抛物线的方程,利用根与系数的关系进一步化简得到点M的坐标,再代入圆的方程即可得出;

    (Ⅱ)相交、相切的解法同上,再利用弦长公式、点到直线的距离公式即可得到三角形的面积表达式,利用导数即可求出其最小值.

    (Ⅰ)∵p=2,∴抛物线C1的方程为x2=4y,∴焦点F(0,1).

    设直线l的方程为y=kx+1,点A(x1,y1),B(x2,y2).

    对x2=4y求导得y′=

    x

    2,∴切线MA,MB的方程分别为y=

    x1

    2x−

    x12

    4,y=

    x2

    2x−

    x22

    4.

    联立

    y=

    x1

    2x−

    x12

    4

    y=

    x2

    2x−

    x22

    4,解得

    x=

    x1+x2

    2

    y=

    x1x2

    4,即点M(

    点评:

    本题考点: 圆与圆锥曲线的综合.

    考点点评: 熟练掌握直线与圆锥曲线的相交、相切问题的解题模式、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积公式、利用导数求斜率及研究函数的单调性、极值、最值等是解题的关键.