Question

已知A、B为阶正交矩阵,且|A|不等于|B|,证明A+B不可逆矩阵

Answer 1

由A,B正交,所以有 AA'=A'A=E,BB=B'B=E

所以 |A'(A+B)| = |A'A+A'B| = |E+A'B|

|B'(A+B)| = |B'A+B'B| = |B'A+E| = |(B'A+E)'| = |A'B+E|

所以 |A'(A+B)| = |B'(A+B)|

所以 |A'||A+B| = |B'||A+B|

所以 |A||A+B| = |B||A+B|

所以 |A+B|(|A|-|B|) = 0.

由已知|A| ≠|B|,所以 |A|-|B| ≠ 0

所以 |A+B| = 0

所以 A+B不可逆.