Question

已知双曲线C;x2/4-y2=1,P是任意一点,求证,点P到双曲线的两条渐近线距离的乘积为一个常数

Answer 1

x2/4-y2=1

a^2=4,b^2=1

a=±2,b=±1

双曲线的渐近线为y=±x/2

x±2y=0

设P(a,b)

P到两条渐近线的距离为

|a*1+b*2|/√(1^2+2^2)=|a+2b|/√5

|a*1+b*(-2)|/√(1^2+(-2)^2)=|a-2b|/√5

距离的乘积为

|a^2-4b^2|/5

因为P是双曲线上的点所以满足

a^2/4-b^2=1

a^2-4b^2=4

所以|a^2-4b^2|/5=4/5

因此点P到双曲线的两条渐近线距离的乘积为一个常数4/5