Question

高等数学用极限方法求证a的x次幂的导数等于a的x次幂乘以lna

Answer 1

y=a^x,

△y= a^(x+△x)-a^x=a^x[a^(△x)-1].

△y/△x=a^x[a^(△x)-1]/△x,

y'=lim[△x→0]△y/△x=a^x*lim[△x→0] [a^(△x)-1]/△x,

设t=a^(△x)-1,△x→0时,则t→0,△x=log[a] (1+t)=ln(1+t)/lna, *//表示以a为底,1+t的对数,再用换底公式,

lim[△x→0] [a^(△x)-1]/△x=lim[t→0] t/[ln(1+t)/lna]

=lim[t→0]lna/[ln(1+t)^(1/t)]

=lna/lne

=lna,

∴y'=a^xlna.