Question

设Sn为数列{an}的前n项和,Sn=(-1)^n an - 1/(2^n),n∈N*,则 (1)a3=___ (2)S

Answer 1

Sn=(-1)^n*an-1/2^n

S(n-1)=(-1)^(n-1)*a(n-1)-1/[2^(n-1)]

两式相减得：

an=(-1)^n*an-(-1)^(n-1)*a(n-1)+1/2^n.①

令n=4

a4=a4-a3+1/16==>a3= - 1/16

(2)

在①中令n=2k

a(2k)=a(2k)+a(2k-1)+1/[2^(2k)]

a(2k-1)= -1/[4^(2k)].②

a(2k-1)= - 1/[(4^k)]

在①中令n=2k+1得：

a(2k+1)=－a(2k+1)－a(2k)+1/[2^(2k+1)]

a(2k)=－2a(2k+1)+1/[2^(2k+1)] ,（由②==>a(2k+1)= - 1/[2^(2k+2)].）

=2/[2^(2k+2)]+1/[2^(2k+1)]

=1/[2^(2k+1)]+1/[2^(2k+1)]

=1/[2^(2k)]=1/4^k

即,

a(2k)=1/4^k.③

S1+S2+...+S100=(a1+a3+a5+...+a99)+(a2+a4+...+a100)-(1/2+1/2^2+.+1/2^100)

= - [1/4+1/4^2+.+1/4^25]+ [1/4+1/4^2+.+1/4^25])-(1/2+1/2^2+.+1/2^100)

=0)-(1/2+1/2^2+.+1/2^100)

=(1/2)^100-1