解题思路：（I）由已知中DE⊥平面ABCD，ABCD是边长为3的正方形，我们可得DE⊥AC，AC⊥BD，结合线面垂直的判定定理可得AC⊥平面BDE；
（Ⅱ）以D为坐标原点，DA，DC，DE方向为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，分别求出平面BEF和平面BDE的法向量，代入向量夹角公式，即可求出二面角F-BE-D的余弦值；
（Ⅲ）由已知中M是线段BD上一个动点，设M（t，t，0）．根据AM∥平面BEF，则直线AM的方向向量与平面BEF法向量垂直，数量积为0，构造关于t的方程，解方程，即可确定M点的位置．
证明：（Ⅰ）因为DE⊥平面ABCD，所以DE⊥AC．
因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD，
从而AC⊥平面BDE．…（4分）
（Ⅱ）因为DA，DC，DE两两垂直，所以建立空间直角坐标系D-xyz如图所示．
因为BE与平面ABCD所成角为600，即∠DBE=60°，
所以
ED
DB＝
3．
由AD=3，可知DE＝3
6，AF＝
6．
则A（3，0，0），F(3，0，
6)，E(0，0，3
6)，B（3，3，0），C（0，3，0），
所以
BF＝(0，−3，
6)，
EF＝(3，0，−2
6)．
设平面BEF的法向量为n=（x，y，z），则
n•
BF＝0
n•
EF＝0，即
−3y+
6z＝0
3x−2
6z＝0．
令z＝
6，则n=(4，2，
6)．
因为AC⊥平面BDE，所以
CA为平面BDE的法向量，
CA＝(3，−3，0)．
所以cos〈n，
CA＞＝
n•
CA
|n||
CA|＝
6
3
2×
26＝
13
13．
因为二面角为锐角，所以二面角F-BE-D的余弦值为
13
13．…（8分）
（Ⅲ）点M是线段BD上一个动点，设M（t，t，0）．
则
AM＝(t−3，t，0)．
因为AM∥平面BEF，
所以
AM•n=0，即4（t-3）+2t=0，解得t=2．
此时，点M坐标为（2，2，0），
即当BM＝
1
3BD时，AM∥平面BEF．…（12分）
点评：
本题考点： 用空间向量求平面间的夹角；空间中直线与平面之间的位置关系；向量方法证明线、面的位置关系定理．
考点点评： 本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，空间中直线与平面垂直的判定，向量法确定直线与平面的位置关系，其中（I）的关键是证得DE⊥AC，AC⊥BD，熟练掌握线面垂直的判定定理，（II）的关键是建立空间坐标系，求出两个半平面的法向量，将二面角问题转化为向量夹角问题，（III）的关键是根据AM∥平面BEF，则直线AM的方向向量与平面BEF法向量垂直，数量积为0，构造关于t的方程．