Question

给出下面的数表序列： 表1 表2 表3 … 1 1 3 1

Answer 1

解题思路：（1）利用给出的规律即可得出表4，进而得到每一行的平均数，即可判断出是否出等比数列，并按其规律进行推广．

（2）由（1）知，表n中最后一行的唯一一个数为

b

n

＝n•

2

n−1

．利用“错位相减法”即可得出数列{b_n}的前n项和．

（1）表4为

1357

4812

1220

32

它的第1，2，3，4行中的数的平均数分别是4，8，16，32，它们构成首项为4，公比为2的等比数列．

将这一结论推广到表n（n≥3），

表n的第1行是1，3，5，…，2n-1，其平均数是

1+3+5+…+(2n−1)

n＝n．

即表n（n≥3）各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n，公比为2的等比数列．

（2）由（1）知，表n中最后一行的唯一一个数为bn＝n•2n−1．

设S_n=b₁+b₂+…+b_n=1×2⁰+2×2¹+3×2²+…+n•2^n-1①

2S_n=1×2¹+2×2²+3×2³…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ②

由①-②得，−Sn＝1+21+22+…+2n−1−n•2n，

整理，得Sn＝(n−1)•2n+1．

点评：

本题考点： 数列的求和；数列的函数特性；归纳推理．

考点点评： 正确理解题意和熟练掌握等比数列的定义及其前n项和公式、“错位相减法”、平均数的计算公式等是解题的关键．