如图所示,要使得向量BF和向量FA同向,两条渐近线夹x轴的夹角不能大于45°.
在△ABC中显然有∠AOF=∠FOB,对△用角平分线定律有：OB/OA=BF/FA,
即：OB/OA=(AB-FA)/FA,化简整理可得：OA*AB=(OA+OB)*AF,
又因为OA,AB,OB成等差数列,即有：OA+OB=2AB,
联立上述两式并消去AB可得：OA=2FA.设OA=x,F(c,0).
再对RT△OAF用勾股定理可得：c^2=OA^2+AF^2=(5/4)x^2.----------(1)
易知直线OA的方程为：y=bx/a,直线AF的方程为：y=(-a/b)*(x-c)
联立两个直线方程可得A坐标为：(a^2c/(a^2+b^2),abc/(a^2+b^2)),由于c^2=a^2+b^2,
所以A坐标可表示为A(a^2/c,ab/c),
所以x^2=(a^2/c)^2+(ab/c)^2=(a^2b^2+b^4)/c^2=b^2(a^2+b^2)/c^2=a^2.----------(2)
联立（1）（2）式可得：4c^2=5a^2 -----------(3)
再将（3）式与c^2=a^2+b^2联立消去b即可解的离心率e=c/a=√5/2.
这道题主要用到的一个定理就是角平分线定理,其他的都只是双曲线的基本应用,难度不是很大,