Question

已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c.若对x1,x2∈R且x1

Answer 1

当x2＜-b/(2a)或x1＞-b/(2a)时：

可知f(x)在(x1,x2)内是单调的.不妨设f(x1)＜f(x2),则必有f(x1)＜1/2[f(x1)+f(x2)]＜f(x2),因此必然存在实数m∈(x1,x2)满足f(m)=1/2[f(x1)+f(x2)].同理当f(x1)＞f(x2)时也成立.

当x1＜-b/(2a)且x2＞-b/(2a)时：

若-b/(2a)-x1＜x2+b/(2a),可设x1′=-b/a-x1,则有f(x1′)=f(x1),且f(x)在(x1′,x2)是单调的,以后证法同上.同理当-b/(2a)-x1＞x2+b/(2a)时也成立