Question

如图，⊙Ol和⊙O2外切于A，PA是内公切线，BC是外公切线，B、C是切点．①PB=AB；②∠PBA=∠PAB；③△PA

Answer 1

解题思路：对①由切线性质PB=PA，∠PBA=∠PAB，所以PA≠AB，

对③由PA是内公切线，BC是外公切线所以∠PBO₁=∠PAO₁=90°，则∠O₁+∠APB=180°，

又有∠O₁≠90°所以∠O₁≠∠APB那么△PAB∽△O_lAB不成立．

要证PB•PC=O_lA•O₂A，由PA⊥O_lO₂则PA²=PB•PC，由∠O_lPO₂=90°，则PA^2₌O_lA•O₂A，所以④成立．

①∵PA是内公切线，BC是外公切线，B、C是切点，

∴∠PBO₁=∠PAO₁=90°，

∵O₁A=O₁B，

∴∠O₁AB=∠O₁BA，

∴90°-∠O₁AB=90°-∠O₁BA，

即∠PBA=∠PAB．

②

连接O₁P，O₂P．

∵PA是内公切线，BC是外公切线，B、C是切点，

∴PA=PB=PC，PA⊥O_lO₂．

∴PA²=PB•PC，

∵O₁A=O₁B，PO₁是公共边，

∴△PBO₁≌△PAO_1，
∴∠PO₁B=∠PO₁A，

同理∠PO₂C=∠PO₂A，

∵∠AO₁B+∠CO₂A=180°．

∴∠PO₁A+∠PO₂A=90°

∴∠O_lPO₂=90°，

∴PA^2₌O_lA•O₂A

∴PB•PC=O_lA•O₂A，

点评：

本题考点： 相切两圆的性质；相似三角形的判定与性质．

考点点评： 这道题考查了相切三角形的性质，以及全等三角形的判定与性质，射影定理等，同学们应该熟练掌握．