Question

求方程xy′=yln[y/x]满足y（1）=e2的特解．

Answer 1

解题思路：先将微分方程变形成齐次方程的形式，然后令[y/x＝u，再求解．

由xy′＝yln

y

x，得

y′＝

y

xln

y

x

这是齐次方程，令[y/x＝u，即y=ux，

则

u+xu′=ulnu

即

du

u(lnu−1)＝

dx

x]

两边积分，得

ln|lnu-1|=ln|x|+C，C为常数

由y（1）=e²，知u(1)＝

e2

1＝e2

从而C=0

∴ln|lnu-1|=ln|x|

∴lnu-1=x

∴u=e^x+1

∴y=xe^x+1．

点评：

本题考点： 齐次方程的求解．

考点点评： 齐次方程的求解，往往是令u＝yx]，但也有些是令u＝xy，关键是要看微分方程的形式，且有时要将微分方程化成齐次方程．