解题思路:(1)利用待定系数法设出f(x)=ax2+bx+c(a≠0),求出f(x+1)+f(x-1)应该是个关于a,b,x的代数式2ax2+2bx+2a+2c,与2x2-4x相同即可求解
(2)由(1)知函数的对称轴方程为x=1,对a结合函数单调性进行分类,当0<a<1时,函数f(x)在[0,a]上为单调减函数,故f(x)的最小值为f(a),当a≥1时,函数f(x)过函数的最低点,故最小值为f(1)
(1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则有f(x+1)+f(x-1)=2ax2+2bx+2a+2c=2x2-4x
对任意实数x恒成立
∴
2a=2
2b=−4
2a+2c=0
解之得a=1,b=-2,c=-1
∴f(x)=x2-2x-1
(2)当0<a<1时,f(x)的最小值为f(a)=a2-2a-1
当a≥1时,f(x)的最小值为f(1)=-2
点评:
本题考点: 函数的最值及其几何意义;函数解析式的求解及常用方法.
考点点评: 本题考查了函数的最值及其几何意义,函数解析式的求解及常用方法,还有分类讨论的思想,属于基础题.