已知二次函数f(x)满足f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x;

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  • 解题思路:(1)利用待定系数法设出f(x)=ax2+bx+c(a≠0),求出f(x+1)+f(x-1)应该是个关于a,b,x的代数式2ax2+2bx+2a+2c,与2x2-4x相同即可求解

    (2)由(1)知函数的对称轴方程为x=1,对a结合函数单调性进行分类,当0<a<1时,函数f(x)在[0,a]上为单调减函数,故f(x)的最小值为f(a),当a≥1时,函数f(x)过函数的最低点,故最小值为f(1)

    (1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则有f(x+1)+f(x-1)=2ax2+2bx+2a+2c=2x2-4x

    对任意实数x恒成立

    2a=2

    2b=−4

    2a+2c=0

    解之得a=1,b=-2,c=-1

    ∴f(x)=x2-2x-1

    (2)当0<a<1时,f(x)的最小值为f(a)=a2-2a-1

    当a≥1时,f(x)的最小值为f(1)=-2

    点评:

    本题考点: 函数的最值及其几何意义;函数解析式的求解及常用方法.

    考点点评: 本题考查了函数的最值及其几何意义,函数解析式的求解及常用方法,还有分类讨论的思想,属于基础题.