这道题目如果用反证法的思想去做就完了,无尽的,所以一楼的做法不对的.
设∠PAB=α、∠PBC=β、∠PCA=γ
要分以下两种情况讨论：
1° α+β+γ≤90°,这个显然有一个角会≤30°,原命题得证.
2° α+β+γ＞90°,接下来需要用正弦定理.
在△PAB中：PA/sin(B-β)=PB/sinα,整理一下：PAsinα=PBsin(B-β)；
同理也会有：PBsinβ=PCsin(c-γ)；PCsinγ=PAsin(A-α).三个式子相乘,约去PA·PB·PC可得：
sinαsinβsinγ=sin(A-α)sin(B-β)sin(C-γ)≤{[sin(A-α)+sin(B-β)+sin(C-γ)]/3}³(基本不等式)
≤[sin(A-α+B-β+C-γ)/3]³(和差化积)＜(sin(180°-90°)/3)³=(1/2)³
这样必然会有一个角的正弦值小于1/2,不妨设sinA＜1/2,若A150°,由于三角形内角和180°的关系,B+C