Question

计算累次积分I=∫21dx∫1x2yexydy．

Answer 1

解题思路：首先交换积分顺序，然后再利用分布积分法进行计算．

积分区域如下图所示．

故交换积分顺序计算可得，

I=

∫21dx

∫

1

x2ye^xydy

=-

∫21dx

∫2

1

xyexydy

=-

∫1

1

2ydy

∫2

1

yexydx-

∫21ydy

∫21exydx

=-

∫1

1

2y(

1

ye2y−

1

y)dy-

∫21y(

1

ye2y−

1

yey)dy

=-

∫1

1

2(e2y−1)dy-

∫21(e2y−ey)dy

=-（[1/2e2−

1

2e−

1

2]）-（[1/2e4−

1

2e2−e2+e）

=−

1

2e4+e2−

1

2e+

1

2]．

点评：

本题考点： 定积分的基本性质．

考点点评： 本题主要考查了积分换序问题以及定义积分的计算，难度系数不大．本类问题的解题关键是正确画出积分区域，并正确写出交换积分顺序后的积分表达式．