Question

数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}的前n项的和为Tn，{bn}为等差数列且各项均为正数，a1=1，an+1=2S

Answer 1

解题思路：（1）通过a_n+1-a_n=（2S_n+1）-（2S_n-1+1）=2a_n．利用等比数列的定义判断{a_n}是公比为3的等比数列．

（2）由（1）得数列{a_n}通项公式，设{b_n}的公差为d（d＞0），利用a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃成等比数列，求出公差，然后求解T_n．

（1）当n≥2时，a_n+1-a_n=（2S_n+1）-（2S_n-1+1）=2a_n．

∴a_n+1=3a_n，即

an+1

an＝3 …4分

又 a₂=2S₁+1=3=3a₁…2分

∴{a_n}是公比为3的等比数列…8分

（2）由（1）得：a_n=3^n-1…9分

设{b_n}的公差为d（d＞0），∵T₃=15，∴b₂=5…11分

依题意a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃成等比数列，有（a₂+b₂）²=（a₁+b₁）（a₃+b₃），

∴64=（5-d+1）（5+d+9）

d²+8d-20=0，得d=2，或d=-10（舍去） …14分

故T_n=3n+

n(n−1)

2×2=n²+2n…16分．

点评：

本题考点： 等比数列的性质；等差数列的前n项和；等比关系的确定．

考点点评： 本题考查等比数列的性质，等差数列的前n项和，等比关系的确定的应用，考查计算能力．